Finite Mathematik Beispiele

$25 x^{- 4} - 104 x^{- 2} + 16 = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 \frac{1}{x^{4}} - 104 x^{- 2} + 16 = 0$

Schritt 1.2

Kombiniere $25$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{25}{x^{4}} - 104 x^{- 2} + 16 = 0$

Schritt 1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{25}{x^{4}} - 104 \frac{1}{x^{2}} + 16 = 0$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 104$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{25}{x^{4}} + \frac{- 104}{x^{2}} + 16 = 0$

Schritt 1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{25}{x^{4}} - \frac{104}{x^{2}} + 16 = 0$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{4}, x^{2}, 1, 1$

Schritt 2.2

Since $x^{4}, x^{2}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{4}, x^{2}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.6

Die Teiler von $x^{4}$ sind $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $4$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $4$ -mal auf.

Schritt 2.7

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 2.8

Das kgV von $x^{4}, x^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Schritt 2.9

Vereinfache $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Schritt 2.9.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.9.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Schritt 2.9.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Schritt 2.9.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Schritt 2.9.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.3.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 2.9.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Schritt 2.9.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 1}$

Schritt 2.9.3.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{25}{x^{4}} - \frac{104}{x^{2}} + 16 = 0$ mit $x^{4}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{25}{x^{4}} - \frac{104}{x^{2}} + 16 = 0$ mit $x^{4}$ .

$\frac{25}{x^{4}} x^{4} - \frac{104}{x^{2}} x^{4} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25}{x^{4}} x^{4} - \frac{104}{x^{2}} x^{4} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$25 - \frac{104}{x^{2}} x^{4} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{104}{x^{2}}$ in den Zähler.

$25 + \frac{- 104}{x^{2}} x^{4} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 3.2.1.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$25 + \frac{- 104}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 + \frac{- 104}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$25 - 104 x^{2} + 16 x^{4} = 0 x^{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{4}$ .

$25 - 104 x^{2} + 16 x^{4} = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$16 u^{2} - 104 u + 25 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 16 \cdot 25 = 400$ und deren Summe gleich $b = - 104$ ist.

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $- 104$ aus $- 104 u$ heraus.

$16 u^{2} - 104 u + 25 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $- 104$ um als $- 4$ plus $- 100$

$16 u^{2} + (- 4 - 100) u + 25 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 u^{2} - 4 u - 100 u + 25 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(16 u^{2} - 4 u) - 100 u + 25 = 0$

Schritt 4.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 u (4 u - 1) - 25 (4 u - 1) = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (4 u - 25) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$4 u - 25 = 0$

Schritt 4.4

Setze $4 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $4 u - 1$ gleich $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Schritt 4.4.2

Löse $4 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 u = 1$

Schritt 4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 4.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Schritt 4.5

Setze $4 u - 25$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $4 u - 25$ gleich $0$ .

$4 u - 25 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $4 u - 25 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 u = 25$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 25$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 25$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{25}{4}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{25}{4}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{25}{4}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 u - 1) (4 u - 25) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{4}, \frac{25}{4}$

Schritt 4.7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{25}{4}$

Schritt 4.8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 4.9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 4.9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 4.9.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.9.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.9.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.9.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.9.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 4.9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4.9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 4.9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 4.10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = \frac{25}{4}$

Schritt 4.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Schritt 4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Schritt 4.11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Schritt 4.11.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{4}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.11.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.11.3.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.11.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.11.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.11.3.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.11.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Schritt 4.11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 4.11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 4.11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Schritt 4.12

Die Lösung von $16 x^{4} - 104 x^{2} + 25 = 0$ ist $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Dezimalform:

$x = 0.5, - 0.5, 2.5, - 2.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 \frac{1}{2}, - 2 \frac{1}{2}$